投票为何像克莱因瓶：拓扑模型刻画孔多塞悖论

《量子杂志》报道，三名研究者表明：孔多塞1785年发现的投票悖论具有一个奇特的几何形态——克莱因瓶，即没有明确内外之分的曲面，从而为理解为何看似合理的集体决策规则可能无法同时满足提供了拓扑视角。法国数学家兼哲学家Nicolas de Condorcet曾发现，在三名及以上候选人时，每位选民的排序可以前后一致，但加总后每个候选人都会在两两对决中输给某一对手，形成逻辑环。经济学家Kenneth Arrow后来证明，任何把个人排序合成集体排序的方法，都必须牺牲至少一项看似合理的民主条件。文章用三人选举例子说明：仅按得票最多决胜可能选出多数人其实更不喜欢的候选人；而按成对对决也可能出现甲胜乙、乙胜丙、丙又胜甲的循环。牛津大学Iain McLean指出，很多时候“人民的意志”并不存在，系统设计者只能选择哪一项条件失败的代价最小。1980年数学家兼经济学家Graciela Chichilnisky曾在脚注中猜测孔多塞悖论可当作拓扑问题；新工作在Yuliy Baryshnikov1993年模型基础上，把三名候选人六种可能排序表示为三角形，沿匹配边拼接并黏合后，最终得到克莱因瓶这一形状。